1
Какое из следующих выражений имеет наименьшее значение?
A) 202 : 6
Б) 202,6
В) 20 + 26
Г) 202 – 6
Д) 20 ∙ 26
2
Число-палиндром − это число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. День, месяц и год рождения Васи, записанные в формате ДД.ММ.ГГГГ, являются палиндромом. В каком месяце родился Вася?
A) Январь Б) Февраль В) Сентябрь Г) Октябрь Д) Ноябрь
3
У Эммы было 19 слив. Во время ужина каждый из пяти членов её семьи съел либо 3, либо 4 сливы. Сколько человек съели по 4 сливы?
A) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 5
4
Число 2026 года обладает двумя свойствами: ровно две из его четырёх цифр совпадают, и сумма его цифр равна 10. Сколько годов в XXI веке обладают теми же двумя свойствами?
A) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 5
5
Саша нарисовал равносторонний треугольник PQR. Точка S является серединой отрезка PR. Через середину отрезка QS проведена прямая, параллельная основанию PR. Какую часть площади треугольника составляет площадь серой фигуры?
A) 1/8 Б) 3/10 В) 1/4 Г) 3/8 Д) 1/3
6
Адам записывает семизначное число 193391a, кратное 6. Чему равна цифра a?
A) 0 Б) 2 В) 4 Г) 6 Д) 8
7
Чему равно значение выражения
(1 − 2) − (3 − 4) − (5 − 6) − ...− (2025 − 2026)?
A) −1013 Б) −1011 В) 1011 Г) 1013 Д) 2024
8
Кристина хочет вписать числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 так, чтобы сумма чисел в каждой паре соседних клеток была нечётной, и чтобы сумма чисел в любых трёх подряд расположенных клетках не делилась на 3. Два числа она уже вписала, как показано на рисунке. Чему будет равна сумма чисел, которые окажутся в серых клетках?
A) 5 Б) 7 В) 9 Г) 11 Д) 13
9
На рисунке показан равносторонний треугольник со стороной 2 см и три дуги окружностей с центрами в вершинах данного треугольника. Какой периметр имеет серая фигура?
A) π см Б) 6 см В) 2π см Г) 8 см Д) 4π см
10
На ферме живут собаки, овцы, козы, свиньи и куры. Кур больше, чем свиней, свиней больше, чем коз, коз больше, чем овец, а овец больше, чем собак. При этом собак в два раза меньше, чем кур. Какое наименьшее количество этих животных может быть на ферме?
A) 28 Б) 30 В) 32 Г) 34 Д) 36
11
После похода пятеро туристов оказались искусаны комарами. У них по 7, 9, 10, 13 и 14 укусов. Известно, что общее число укусов у Антона и Лизы в три раза больше числа укусов у Кирилла, а общее число укусов у Миланы и Лизы в два раза больше числа укусов у Пети. Сколько укусов у Лизы?
A) 7 Б) 9 В) 10 Г) 13 Д) 14
12
В ячейки на рисунке нужно вписать простые числа 2, 3, 5, 7, 11 и 13 так, чтобы в любых двух соседних ячейках сумма чисел не была равна простому числу. Число 2 уже вписали, как показано на рисунке. Сколько существует способов такого заполнения ячеек на рисунке?
A) 2 Б) 6 В) 12 Г) 60 Д) 120
13
На окружности через равные промежутки расположены пятнадцать точек. Сколько правильных многоугольников можно построить, используя какие-то из этих точек в качестве вершин?
A) 5 Б) 7 В) 9 Г) 11 Д) 13
14
Старый деревянный куб состоит из одинаковых маленьких кубиков. В кубе поселились шесть древесных жуков, и каждый из них прогрыз один сквозной ход, идущий параллельно одному из рёбер большого куба. На рисунке показаны места входа этих шести ходов. Сколько маленьких кубиков не повреждены жуками?
A) 8 Б) 10 В) 12 Г) 15 Д) 21
15
Олег хочет заполнить клетки треугольной таблицы числами −1 или +1. Во всех клетках, кроме нижнего ряда, число в клетке должно быть равно произведению двух чисел, расположенных под ней. В самой верхней клетке стоит число −1. Сколькими различными способами, Олег может заполнить остальные клетки таблицы?
A) 4 Б) 8 В) 10 Г) 12 Д) 15
16
На рисунке изображена фигура, в которой отмечены десять равных углов. Чему равна величина каждого из этих углов?
A) 96° Б) 105° В) 108° Г) 115° Д) 120°
17
Пять мальчиков − Лёша, Борис, Ваня, Дима и Егор − участвовали в забеге на километр. Один из них не добежал до финиша, а остальные финишировали с разным временем. Позже их спросили о результатах забега, и они сказали: Лёша: «Я пришёл вторым или третьим». Борис: «Я добежал до финиша и не был четвёртым». Ваня: «Я был первым». Дима: «Я был четвёртым». Егор: «Я не дошёл до финиша».
Один из мальчиков солгал, а все остальные сказали правду. Кто солгал?
A) Лёша Б) Борис В) Ваня Г) Дима Д) Егор
18
На рисунке показано, как меняется уровень воды в бутылке, когда её переворачивают вверх дном. Объём бутылки равен 4,5 л. В исходном положении вся часть бутылки, заполненная водой, представляет собой цилиндр. Чему равен объём воды в бутылке в литрах?
A) 2,4 Б) 2,5 В) 2,7 Г) 3,0 Д) 3,5
19
На рисунке прямоугольники ABCD и DCEF равны. Точка O − центр прямоугольника DCEF. Какую часть составляет площадь треугольника АСО от площади прямоугольника ABEF?
A) 1/4 Б) 1/2 В) 1/3 Г) 1/5 Д) 2/9
20
В клетки K-образной фигуры на рисунке нужно вписать числа от 1 до 10, по одному числу в каждую клетку. Суммы чисел на каждой прямой (вертикальной из 5 клеток и двух наклонных из 4 клеток) должны быть одинаковыми и максимально возможными. Чему будет равна сумма чисел в трёх закрашенных клетках?
A) 13 Б) 18 В) 23 Г) 26 Д) 27
21
В шахматном турнире каждый участник должен сыграть по одной партии с каждым из остальных. За победу присуждается 3 очка, за ничью 1 очко, а за поражение снимается 1 очко. После завершения турнира сумма очков всех участников оказалась равной 90. Сколько человек участвовало в турнире?
A) 5 Б) 8 В) 10 Г) 12 Д) 15
22
На рисунке изображена большая окружность радиуса 10 и девять окружностей меньшего радиуса внутри неё. Каждая малая окружность касается двух других малых окружностей и одновременно касается большой окружности. Сумма расстояний от центров всех малых окружностей до центра большой окружности равна d. Чему равен периметр серого десятиугольника?
A) 90 – 2d
Б) 90 – d
В) 180 – d
Г) 180 – 2d
Д) 180 + 2d
23
Для двух неотрицательных целых чисел a и b выполняется равенство
ab – ab = 2026.
Чему равна сумма a + b?
A) 10 Б) 13 В) 15 Г) 1013 Д) 1015
24
Маша проезжает на своём велосипеде с большим передним колесом («пенни-фартинг») через лужу, как показано на рисунке. Как может выглядеть след, который она оставит на земле?
25
Правильный шестиугольник со стороной 60 сдвинули вправо на расстояние АВ, как показано на рисунке. В результате образуются три фигуры одинаковой площади. Какую длину имеет отрезок AB?
A) 30 Б) 39 В) 40 Г) 45 Д) 52
26
У Ромы есть восемь палочек разной длины. Длины палочек выражаются целыми числами. Из любых трёх данных палочек нельзя сложить треугольник. Чему равно наименьшее возможное значение длины самой длинной палочки?
A) 32 Б) 33 В) 34 Г) 35 Д) 36
27
ABCDEF − правильный шестиугольник, а ABGH и BCIJ − квадраты внутри данного шестиугольника. Точка P − точка пересечения отрезков GH и IJ. Чему равно отношение площадей треугольников JGP и BGJ?
A) 1 : 4
Б) √3 : 6
В) 1 : 3
Г) 2 : 5
Д) 1 : 2
28
В круге радиуса 12 см проведены две хорды, перпендикулярные друг другу. Эти хорды разбивают круг на четыре области, обозначенные на рисунке буквами A, B, C и D. Одна хорда проходит на расстоянии 3 см от центра круга, а другая − на расстоянии 4 см от центра. При этом сумма площадей областей A и C на X см2 больше суммы площадей областей B и D. Чему равно X?
A) 9 Б) 16 В) 36 Г) 48 Д) 60
29
Миша и Паша по очереди достают конфеты из коробки. Сначала Миша берёт 1 конфету, затем Паша − 2, потом Миша − 3, затем Паша − 4 и так далее, каждый раз увеличивая количество на 1. Когда конфет остаётся меньше, чем требуется для очередного хода, тот, чья очередь, забирает все оставшиеся конфеты. В результате у Миши оказалось 407 конфет. Сколько конфет было в коробке в самом начале?
A) 814 Б) 827 В) 834 Г) 841 Д) 851
30
Анна расположила цифры от 1 до 9 по кругу в некотором порядке. Затем, двигаясь по ходу часовой стрелки, она записала все девять трёхзначных чисел, образованных тремя последовательными цифрами. Одно из этих трёхзначных чисел оказалось равно a. Оказалось также, что сумма остальных восьми чисел делится на а. Сколько различных значений может принимать число a?
A) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 5