1
У треугольника все стороны имеют целую длину. Известно, что две его стороны равны 9 и 1. Чему равна длина третьей стороны?
A) 5 Б) 7 В) 9 Г) 11 Д) 13
2
Во время 30-минутной пробежки умные часы фиксировали изменение пульса. Первые 10 минут пульс увеличивался на 4 удара в минуту каждую минуту. Следующие 10 минут пульс оставался постоянным. Последние 10 минут пульс уменьшался на 2 удара в минуту каждую минуту. Какой из графиков пульса соответствует этому описанию?
3
Плитки в форме правильных пятиугольников уложены рядом, соприкасаясь сторонами, и образуют кольцо. На рисунке показаны четыре такие плитки. Сколько плиток в полном кольце?
A) 10 Б) 11 В) 12 Г) 14 Д) 15
4
Инна хочет пройти от точки S до точки F. Она может двигаться только по отмеченным дорожкам и только в направлениях, показанных стрелками. Чёрные перекрёстки посещать нельзя. Сколькими различными способами Инна может добраться от S до F?
A) 5 Б) 6 В) 7 Г) 8 Д) 9
5
В клетки выражения
нужно вписать цифры 2, 0, 2 и 6, используя каждую ровно один раз. Какое наибольшее значение может иметь полученное выражение?
A) 24 Б) 26 В) 28 Г) 210 Д) 212
6
В магазине действует акция. При покупке трёх товаров самый дешёвый из них достаётся бесплатно. Юля выбирает шесть пар носков по цене: 2,90 р., 3,10 р., 3,50 р., 4,30 р., 4,60 р. и 4,90 р. Какая наибольшая общая стоимость тех двух пар носков, которые Юля может получить бесплатно?
A) 6,60 р. Б) 7,20 р. В) 7,40 р. Г) 7,70 р. Д) 8,10 р.
7
Егор семь раз согнул полоску бумаги, у которой одна сторона белая, а другая тёмная, как показано на рисунке. Как будет выглядеть белая сторона бумаги после разворачивания?
8
На рисунке изображён квадрат PQRS. Точки X и Y являются серединами сторон QR и PS соответственно. Какая по площади часть квадрата закрашена?
A) 1/8 Б) 1/6 В) 1/5 Г) 1/4 Д) 1/3
9
В гостинице 9 свободных номеров. Каждый номер рассчитан либо на 3, либо на 4 человека. Группа из 30 человек заселилась так, что все номера оказались полностью заняты. Сколько номеров в гостинице рассчитано на 4 человека?
A) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 5
10
Сколько существует трёхзначных чисел abc, для которых выполняется равенство
a = (b/c)2
A) 4 Б) 8 В) 9 Г) 10 Д) 16
11
Число 
разделили на 33. Чему равна сумма цифр полученного частного?
A) 1111 Б) 2025 В) 2026 Г) 3039
Д) Другой ответ
12
На отрезке AB случайным образом выбираются две точки P и Q. Ни одна из них не совпадает с серединой отрезка. Чему равна вероятность того, что середина отрезка AB лежит между точками P и Q?
A) 1/4 Б) 1/3 В) 1/2 Г) 2/3 Д) 3/4
13
На рисунке изображены квадрат и два взаимно перпендикулярных отрезка. Длины трёх отрезков указаны на рисунке. Чему равна длина отрезка, отмеченного знаком вопроса?
A) 5,6 Б) 5,9 В) 6,1 Г) 6,3 Д) 6,6
14
Петя строит башню из кубических блоков двух видов. Одни блоки имеют высоту 5 см, другие − 4 см. Блоков каждого вида можно брать сколько угодно. Какое наибольшее целое число сантиметров НЕ может быть высотой такой башни?
A) 7 см Б) 11 см В) 17 см Г) 37 см Д) 101 см
15
На рисунке расположены пять фигур между двумя параллельными прямыми: 1 − полукруг, 2 − круг, 3 − квадрат, 4 и 5 − равносторонние треугольники. Пусть S1, S2, S3, S4, S5 – соответствующие им площади. Какое из следующих утверждений верно?
A) S1 > S2 > S3 > S4 > S5
Б) S1 > S4 > S3 > S2 > S5
В) S1 > S3 > S2 > S4 > S5
Г) S1 > S4 > S3 > S2 > S5
Д) S1 > S3 > S2 > S5 > S4
16
Двое бросают два обычных игральных кубика и записывают произведение выпавших чисел. Аня получает очко, если это произведение делится на 4. Дима получает очко, если это произведение делится на 6. Какова вероятность того, что и Аня, и Дима получат очко одновременно?
A) 1/18 Б) 1/9 В) 5/36 Г) 7/36 Д) 2/9
17
В каждом месте, где ствол дерева разветвляется на две ветви, сумма площадей их поперечных сечений равна площади поперечного сечения исходной ветви. Поперечные сечения ветвей в точках a, b, c и d − это круги диаметрами соответственно 1 см, 4 см, 8 см и x см. Чему равен x?
A) 9 см Б) 10 см В) 11 см Г) 12 см Д) 13 см
18
Поверхность шестиугольной призмы состоит из двух правильных шестиугольников и шести квадратов, как показано на рисунке. Все её рёбра имеют длину 1. Чему равна длина отрезка AB?
A) √2 Б) √3 В) √4 Г) √5 Д) √6
19
Саша заполняет показанную на рисунке пирамиду числами −1 и +1 снизу вверх. Каждое число кроме нижнего ряда равно произведению двух чисел, стоящих прямо под ним. В верхней клетке в конце должно стоять число +1. Сколькими способами можно заполнить пирамиду?
A) 8 Б) 16 В) 18 Г) 20 Д) 32
20
Олег бросил 100 обычных игральных кубиков. Он перемножил числа, выпавшие на верхних гранях всех кубиков, и получил произведение 670. Какое наименьшее количество кубиков могло показать число 6?
A) 10 Б) 12 В) 24 Г) 30 Д) 35
21
На доске записаны числа от 1 до 40. Давид выполняет с ними 39 действий. На k-м шаге если k не делится на 7, он стирает любые два числа a и b и записывает число
a + b − 1,
а если k делится на 7, он стирает любые два числа a и b и записывает число
a + b + 5.
Какое число окажется на доске после всех операций?
A) 781 Б) 801 В) 811 Г) 819 Д) 821
22
Даны действительные числа a и b, для которых
9a = 11b = 9801.
Чему равно сумма
1/a + 1/b ?
A) 1/2 Б) 3/4 В) 1 Г) 2 Д) 3
23
У Лёши есть бумажный квадрат размером 4×4, состоящий из 16 квадратных клеток. Лёша делает прямые разрезы так, чтобы ни одна клетка не осталась целой. Какое наименьшее число разрезов для этого необходимо?
A) 2 Б) 3 В) 4 Г) 5 Д) 6
24
Сумма 15 подряд идущих натуральных чисел равна сумме следующих за ними 9 натуральных чисел. Чему равно наименьшее из этих 24 чисел?
A) 10 Б) 11 В) 12 Г) 13 Д) 14
25
На отрезке AF построены три равных равносторонних треугольника, как показано на рисунке. Обозначим через S1 площадь треугольника AHI, а через S2 – площадь треугольника DGJ. Чему равно отношение
S1 : S2?
A) 1 : 3
Б) 1 : 4
В) 1 : 5
Г) 2 : 3
Д) 3 : 5
26
Функция f(x) обладает свойствами: для любых действительных x
1) f(x + 10) = f(x)
и
2) f(6 − x) = − f(x).
Известно, что f(27) = 9. Найдите значение
f(9) + f(13).
A) −27 Б) −9 В) −3 Г) 3 Д) 9
27
На рёбрах куба отмечены девять точек, как показано на рисунке. Сколько существует тетраэдров, вершинами которых являются какие-то четыре из этих девяти точек?
A) 24 Б) 36 В) 48 Г) 60 Д) 72
28
Для натурального числа n обозначим через аn наибольшее целое число, не превосходящее √n. Чему равно значение выражения
а1 - а2 + а3 - а4 + а5 - а6 + ... + а2025 - а2026?
A) 0 Б) 2026 В) -2026 Г) 22 Д) -22
29
Доска 4×4 окрашена в шахматном порядке. За один ход можно выбрать на доске любой квадрат 2×2 и поменять цвет всех четырёх его клеток на противоположный. За какое наименьшее число ходов квадрат можно перекрасить так, что все клетки станут белыми?
A) 4 Б) 6 В) 8 Г) 16
Д) невозможно сделать все клетки белыми
30
Для числа x>0 число 
− это такое положительное число s, что
Чему тождественно равно выражение
?
